mots cles : sequence, autocorreation, intercorrelation, character and elliptic curves.

 Soit  L/K une extension finie de corps finis. Nous étudions les valeurs d'autocorrélation des séquences contruites à partir de la trace d'une extension L/K et d'un caractère multiplicatif de K. Nos séquences s' écrivent  :

avec b d'ordre n dans le groupe multiplicatif L* de L, et X un caractère multiplicatif de K*. La restriction à  K* des caractères du groupe orthogonal  à bjoue un rôle fondamental.  Nous dirons être en situation de type   x-y pour exprimer que l'ordre de son noyau vaut x et que celui de son conoyau vaut  y. On sait que la séquence  s est parfaite si et seulement si ce morphisme de restriction est bijectif, c'est la situation  1-1. Par ailleurs, la situation  1-2 donne lieu à des séquences presque parfaites. Dans cette note,  nous concentrons nos efforts sur la situation  2-1.

Les paramètres q, s et n définissent une situation de type  2-1 si et seulement si

On se limite au cas d'une extension quadratique de K,  en choisissant  X égal  au caractère quadratique de K. La trace ne s'annule pas sur le groupe d'ordre q+1,  et donc, la séquence s  binaire (à valeurs dans {+1,-1}). Une paramétrisation classique  du sous-groupe d'ordre  q+1  de  L* permet de connecter le calcul des valeurs d'autocorrélations avec celui du nombre de points d'une courbe elliptique.  La relation de Hasse-Weil  fournit  une borne sur le pic  d'autocorrélation hors phase  P(s) :

Soit R la racine de q. Nos expériences numériques montrent que la fonction d'autocorrélation de s prend toutes les valeurs entieres congrues à  X(2) modulo 4 dans
l'intervalle [-2R, +2R], ce qui conduit à une conjecture sur le nombres de points de certaines courbes elliptiques, ou encore sur les valeurs prises  par le polynome de Hasse sur le groupe d'ordre q+1. Par ailleurs, il apparait que l'intercorrélation des paires de séquences de type 2-1 est parfois meilleure que celle des paires de m-séquence préférées.