I3S, 250 Av. A. Einstein, 06560 Valbonne, France.
Le théorème d'Ax donne la valuation p-adique du
nombre de solution d'une équation en fonction du degré. Une
application directe de ce théorème fournit la divisibilité
des poids des mots dans les codes de Reed-Muller. On sait que les codes
de Reed-Muller peuvent être interprétés de deux façons
: codes cycliques ou codes idéaux d'une algèbre non semi-simple,
et cela suggère deux prolongements différents. La divisibilité
des poids des mots dans le cas semi-simple est étudiée par
R. McEliece et P. Delsarte. Pour le cas non semi-simple dont il ne sera
pratiquement pas question ici, je renvoie le lecteur à l'article
de H.N. Ward . Dans l'article
weight congruences of p-ary cyclic codes
R. McEliece donne la divisibilité des poids d'un code cyclique p-aire.
Dans Weights of p-ary abelian codes , P. Delsarte donne celle des
poids des codes abéliens. Les ingrédients utilisés
dans leurs preuves sont : les congruences de Stickelberger, et la transformée
de Mattson-Solomon. Ils adaptent leurs démonstrations au cas général
des codes abéliens q-aires dans Zeros of Functions in
Finite Abelian Group Algebras [#!DelsarteMcEliece!#]. Le cheminement
de leurs preuves est comparable à celui utilisé par Ax. Dans
cette note, je montre comment utiliser les conguences de Stickelberger,
les sommes de Gauss sur les algèbres semi-simple et la représentation
trace des codes abéliens , exposée dans mon article Weights
of Abelian Codes, pour aboutir à des résultats similaires.
Pour conclure le rapport, je donne une application du théorème
de McEliece dans la théorie des séquences.