Philippe Langevin
I3S, 250 Av. A. Einstein, 06560 Valbonne, France.
Le théorème d'Ax donne la valuation p-adique du nombre de solution d'une équation en fonction du degré. Une application directe de ce théorème fournit la divisibilité des poids des mots dans les codes de Reed-Muller. On sait que les codes de Reed-Muller peuvent être interprétés de deux façons : codes cycliques ou codes idéaux d'une algèbre non semi-simple, et cela suggère deux prolongements différents. La divisibilité des poids des mots dans le cas semi-simple est étudiée par R. McEliece et P. Delsarte [#!Delsarte!#][#!DelsarteMcEliece!#][#!McEliece!#]. Pour le cas non semi-simple dont il ne sera pratiquement pas question ici, je renvoie le lecteur à l'article de H.N. Ward [#!Ward!#]. Dans l'article weight congruences of p-ary cyclic codes [#!McEliece!#] R. McEliece donne la divisibilité des poids d'un code cyclique p-aire. Dans Weights of p-ary abelian codes [#!Delsarte!#], P. Delsarte donne celle des poids des codes abéliens. Les ingrédients utilisés dans leurs preuves sont : les congruences de Stickelberger, et la transformée de Mattson-Solomon. Ils adaptent leurs démonstrations au cas général des codes abéliens q-aires dans Zeros of Functions in Finite Abelian Group Algebras [#!DelsarteMcEliece!#]. Le cheminement de leurs preuves est comparable à celui utilisé par Ax. Dans cette note, je montre comment utiliser les conguences de Stickelberger, les sommes de Gauss sur les algèbres semi-simple et la représentation trace des codes abéliens , exposée dans mon article Weights of Abelian Codes [#!Langevin1!#], pour aboutir à des résultats similaires. Pour conclure le rapport, je donne une application du théorème de McEliece dans la théorie des séquences.