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\newcounter{exono}

\newenvironment{exo}{
  \stepcounter{exono}
  \vspace{5mm}
  \par\noindent{\bfseries Q \theexono.\ }\noindent
}{\par\vspace{2mm}}

\def\fd#1{\{0,1\}^{#1}}
\def\wt{{\rm wt}}
\def\dh{{\rm dh}}

\title{Code Correcteur d'erreur\\Master Info 1 Toulon} 



\date{\oldstylenums{27} juin \oldstylenums{2019}}

\begin{document}

\maketitle

\begin{wrapfigure}{l}{0.2\textwidth} 
\vspace{-20pt}
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.3]{Hamming.jpg}
    %%\caption{Richard Hamming}
    %%\label{fig:RH}
  \end{center}
  \vspace{-20pt}
  \vspace{1pt}
\end{wrapfigure} 
Pour un entier $n>0$,
$\fd n$ désigne  l'estace  de Hamming
mots binaires de $n$ bits. On note $\wt(x)$ 
le poids binaire de $x\in\fd n$, et
$V(n, r)$ le cardinal de la boule de rayon $r$ i.e.
$$
B(n,r) =\{ x\in\fd n \mid \wt(x) \leq r \}.
$$ 
Un $(n,M,d)$ code est
une partie de $\fd n$ qui contient $M$ éléments 
séparés par une distance au moins égale à $d$. 
Un $[n,k,d]$ code est sous-espace de dimension $k$ 
de $\fd n$ de distance minimale supérieure ou égale à $d$. 
Nous noterons $G$ 
la matrice génératrice du code de Hamming $[7,4,3]$
utilisé dans la figure ci-dessous pour transmettre
les messages de $4$ bits. 

\begin{multicols}{2}
$$
G=
\begin{bmatrix}
1  &0  &0 &0 &1 &1 &1 \\
0  &1  &0 &0 &0 &1 &1 \\
0  &0  &1 &0 &1 &0 &1 \\
0  &0  &0 &1 &1 &1 &0 \\
\end{bmatrix}
$$


\begin{exo} 
Donner une  matrice de
conrôle $H$ du code de Hamming $[7,4,3]$.  
\end{exo}

\begin{exo}
Argumenter sur $H$ pour prouver que la
distance minimale est bien égale à trois.
Quelle est la capacité de correction du code~? 
\end{exo}

\begin{exo} 
On note $a_3a_2a_1a_0r_1r_2r_3$ l'encodage
du message $a_3a_2a_1a_0$. Préciser les valeurs
de $r_1$, $r_2$ et $r_3$ en fonction de $a_0$, $a_1$, $a_2$
et $a_3$.
\end{exo}

\begin{exo} 
Quel est le syndrôme du mot $abcdefg$~? 
\end{exo}

\begin{exo} 
Préciser la table de décodage du code. 
\end{exo}

\begin{exo} 
Décoder tous les mots de 
poids $3$.
\end{exo}
\begin{exo}
Représenter le graphe de la probabilité 
d'erreur aprés décodage du code de Hamming.
Estimer cette probabilité d'erreur lorsque
la probabilité de transition d'un bit vaut $10^{-6}$. 
\end{exo}



\begin{exo} 
Déterminer $V(7,3)$. Montrer qu'il n'existe pas 
de $(7,16,4)$-code ni de $[7,4,4]$-code.
\end{exo}


\begin{exo} 
Comment obtenir un $[8, 4, 4]$-code
à partir du code de Hamming $[7, 4, 3]$~?
\end{exo}

\begin{exo} 
Comment obtenir un $[6 , 3, 3]$-code
à partir du  code de Hamming $[7, 4, 3]$~?
\end{exo}


\end{multicols}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{canal.jpg}
\end{center}

\end{document}




