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\newcounter{exono}

\newenvironment{exo}{
  \stepcounter{exono}
  \vspace{10mm}
  \par\noindent{\bfseries Q \theexono.\ }\noindent
}{\par\vspace{2mm}}

\def\fd#1{\{0,1\}^{#1}}
\def\wt{{\rm wt}}
\def\supp{{\rm supp}}
\def\dh{{\rm dh}}
\def\RM{{\rm RM}}
\def\sphere{{\mathfrak f}}
\def\ligne#1{\begin{center}\tiny #1\end{center}}
\title{Code Correcteur d'erreur\\Master Info 1 Toulon} 



\date{\oldstylenums{20} janvier \oldstylenums{2021}}

\begin{document}

\maketitle

Pour un entier $m>0$, 
Une application 
booléenne $f$ sur l'espace  de Hamming
$\fd m$ est caractérisée
par son support :
$$
	\supp( f ) =\{ x \in \fd m \mid f(x) = 1 \}
$$

En identifiant un mot binaire à la représentation
binaire d'un entier, une fonction booléenne est
représentée  par une table de vérité, indexée 
par les entiers inférieurs à $2^m$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		0         &  1           &2   &3  &\ldots &$x$  &\ldots&$2^m -1$\\
	\hline
	$f(0\ldots 00)$   &$f(0\ldots 01)$
	&$f(0\ldots 10)$   &$f(0\ldots 11)$  
       &\ldots
	& $f(x)$ 
       &\ldots 
       &$f(1\ldots 11)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Une fonction booléenne possède  une et une seule
forme algébrique normale :
$$
	f(x) = \sum_{S\subseteq\{1,2,\ldots,m\}} a_S X_S,
\qquad\text{\rm où}\quad
	X_S(x) = \prod_{s\in S} x_s.
$$


\begin{multicols}{2}

\begin{center}
    \includegraphics[scale=0.75]{mars.jpg}
\end{center}


\begin{exo} 
Soit $a$ un élément de $\fd m$.
Quelle est la forme algébrique de la
fonction booléenne $\delta_a$ 
ayant pour support $\{a\}$ ?
\end{exo}

\begin{exo} 
On se place dans le cas $m=3$. Donner 
la forme algébrique  normale de la
fonction booléenne de support 
l'ensemble des mots de poids 1. 
\end{exo}

\begin{exo} 
Comment est défini le degré d'une fonction 
booléenne ?
\end{exo}

\begin{exo} 
Que peut-on dire du poids d'une fonction 
de degré $m$ ?
\end{exo}

\begin{exo} 
Sous forme algébrique,
donner un exemple de fonction booléenne,
de degré $k$ et de poids $2^{m-k}$.
\end{exo}

\begin{exo} 
Rappeler la définition et les parmètres
du code de Reed-Muller $\RM(k, m)$.
\end{exo}

\begin{exo} 
Quelle est la capacité de correction
du  code $\RM(2, 4)$ ? Combien de mots
sont dans ce code ?
\end{exo}

\begin{exo} 
Donner une matrice de conrôle du
code $\RM(2, 4)$.
\end{exo}

\begin{exo} 
Dresser la table décodage de ce code.
\end{exo}

\begin{center}
    \includegraphics[scale=0.6]{rm.jpg}
\end{center}

\end{multicols}


\end{document}




