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\newcounter{exono}

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  \stepcounter{exono}
  \vspace{5mm}
  \par\noindent{\bfseries Q \theexono.\ }\noindent
}{\par\vspace{2mm}}

\def\fd#1{\{0,1\}^{#1}}
\def\wt{{\rm wt}}
\def\dh{{\rm dh}}

\title{Code Correcteur d'erreur\\Master Info 1 Toulon\\préparation oral} 


\date{\oldstylenums{5} Mai \oldstylenums{2020}}



\begin{document}

\maketitle

{\sl Consignes pour l'oral de la deuxième session du M1 informatique.}

\vspace{1cm}

\begin{wrapfigure}[9]{l}{0.25\textwidth} 
\vspace{-20pt}
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.18]{Lagrange.jpg}
    %%\caption{Joseph Lagrange}
    %%\label{fig:RH}
  \end{center}
  \vspace{-20pt}
  \vspace{1pt}
\end{wrapfigure} 


Une permutation d'un code linéaire $C$ de longueur $n$
est une bijection $\pi$ de l'ensemble $\{1,2,\ldots,n\}$
tel que, pour tout mot $x$ de $C$, le mot 
$
	(x_{\pi(1)},
	x_{\pi(2)},
	x_{\pi(n)})
$
est encore un mot de $C$.
On vérifie sans peine que l'ensemble des permutations
d'un code forment un sous-groupe du groupe des permutations, 
c'est le groupe des isométries du code.


\begin{exo} 
Quel est le groupe des permutations du code réduit au mot nul ?
\end{exo}

\begin{exo} 
Le groupe des permutations d'un code 
et de son orthogonal sont-ils identiques ?
\end{exo}



\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.25\textwidth} 
\vspace{-20pt}
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.9]{macwilliams.jpg}
    %%\caption{Florence MacWilliams}
    %%\label{fig:RH}
  \end{center}
  \vspace{-20pt}
  \vspace{1pt}
\end{wrapfigure} 

\begin{exo} 
Comment écrire programme  dans le langage de votre choix pour déterminer
le groupe des permutations d'un code de Hamming.
\end{exo}

\begin{exo} 
Comment utiliser le lemme de Lagrange pour tester les résultats
obtenus par ce programme? 
\end{exo}

\tiny


On remarque qu'une permutation d'un code 
conserve le poids de Hammming et donc la
distance de Hamming, c'est une isométrie. Un célèbre résultat de
la mathématicienne Florence Jessy MacWilliams affirme que
toute isométrie d'un code $C$ se prolonge en une permutation
de l'espace ambiant. 


\end{document}




