La mystérieuse loi de réciprocité quadratique énoncée
par Legendre, généralisée par Eisenstein puis Artin
donne naissance à la théorie du corps de classe de Hilbert...
La démonstration de cette proposition constitue une excellente initiation
aux propriétées cachées des nombres.
Avril 1999
Nous sommes en 1786, comme chaque année le maître de la petite école de Brunswick commence son cours d'arithmétique par son exercice favori. Il demande à ses élèves de calculer la somme des 100 premiers entiers. À peine l'exercice posé, un de ses plus jeunes disciple, à peine agé de neuf ans, donne la réponse : 10100/2 ! Le maître qui avait l'habitude d'attendre un bon moment avant d'obtenir les premières réponses n'en croit pas ses oreilles et tombe de sa chaise ! Il venait de découvrir l'un des plus grands génies mathématiques de tous les temps : Carl Friederich Gauss... Les travaux de Gauss sont riches, variés et profonds. La marque de Gauss apparaît dans de nombreuses branches scientifiques, citons : la découverte de l'astéroïde Pallas en mécanique céleste, l'unité d'induction magnétique le ``Gauss'' témoin de ses travaux en magnétisme et electromagnétisme, des résultats en optique, et de nombreuses créations mathématiques et algorithmiques. L'esprit de Gauss se distingue particiculièrement en arithmétique. Graham, Knuth et Patashnik écrivent dans la foundation for computer science :
Actually Gauss is often called the greatest mathematician of all time. So it's nice to be able to understand at least one of his discoveries.
Par chance, certains résultats de Gauss sont faciles à présenter au commun des mortels, c'est une des caractéristiques de l'arithmétique, comme par exemple le :
Mais comme souvent, les démonstrations sont relativement techniques,
c'est une seconde caractéristique de l'arithmétique ! Nous
ne démontrerons pas ce théorème qui semble être
une application de la théorie de Galois. Le lecteur intéressé
trouvera la preuve de Gauss dans le célèbre mémoire
``disquisitiones arithmeticae'' [1] : recherches
arithmétiques. Ce thérème s'inscrit dans ses travaux
sur la cyclotomie qui le conduisent à travailler la somme 
i.e les somme quadratique de Gauss. Après avoir montré que
:
il ajoute :
théorèmes remarquables par leur élégance. Au reste, nous ferons observer que le signe supérieur a lieu quand k est l'unité, ou plus généralement quand k est un résidu quadratique de n, et le signe inférieur, quand k est non-résidus. Ces théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent encore davantage, lorsque n est un nombre composé quelconque; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui demanderaient trop de développement, et de les réserver pour une autre occasion.
Pour comprendre la réserve de Gauss, rappelons qu'il mit deux ans pour résoudre cette enigme dite : question du signe de ces sommes ! L'objectif de cette note est d' initier le lecteur sur ces questions. Je le suppose familier avec les notions de base de l'algèbre. Il doit connaître les définitions de groupes, d'anneaux de corps, sans pour autant en avoir la pratique. Nous partirons de la notion bien connue de division Euclidienne, mais commencezpar tester vos prérequis en démontrant :
