Le problème du cachalot
Introduction
On considère l’action du groupe linéaire GL(10,2) sur l’espace des formes homogènes de degré 7 en dix variables sur le corps fini 𝔽2. Cet espace est de dimension C(10,7)=120, ce qui le rend totalement inaccessible par une exploration directe. Néanmoins, une application de la formule de Burnside montre que le nombre d’orbites de cette action est égal à 3 691 561, un nombre remarquablement faible au regard de la taille de l’espace ambiant.
Le problème du cachalot désigne précisément cette situation : un espace de très grande dimension, muni d’une action de groupe, dont la classification orbitale reste numériquement bornée. Les orbites peuvent être vues comme des trajectoires profondes et invisibles, tandis que seules certaines intersections avec des sous-espaces plus petits sont observables.
L’objectif numérique principal de ce travail est de déterminer un système explicite de 3 691 561 représentants des orbites de l’action de GL(10,2) sur les formes heptiques. Il s’agit ainsi de rendre effective une classification dont l’existence est garantie par des arguments théoriques, mais dont la réalisation concrète pose un défi majeur en raison de la taille de l’espace considéré.