SOMME DE GAUSS SUR UN ANNEAU LOCAL

PHILIPPE LANGEVIN

Résumé. Ce rapport s’inscrit en préparation à l’etude des propriétés d’intercorrélations de certaines familles de séquences construites à partir d’un anneau fini. Ces séquences sont formées suivant le modèle des msequences et leurs coefficients de Fourier sont des sommes analogues aux sommes de Gauss. La construction est précisée dans la section 1. Quelques rappels sur les sommes de Gauss suivent dans la section 2. Les sections 3,4 et 6 fournissent les structures des anneaux finis : locaux, quasi-Frobenius et Galois. Les formules sur la somme de Gauss triviale de la section 5 justifient le choix des anneaux quasi-Frobenius comme cadre de travail. Les résultats de Calderbank, Kumar, Helleseth à propos des sommes d’exponentielles sur les anneaux de Galois sont survolés dans la section 7. Le cas de la caractéristique quatre est détaillé : calcul de l’ invariant de Arf de la seconde fonction tracique (section 8 et 9), et des congruences du type de celles de Stickelberger sont remarquées (section 10). Le programme de constructions de séquences est ambitieux : les familles de Gold, puis celles de Solé, Boztas et Kumar sont revisitées dans ce contexte. Enfin, deux exemples de calculs en situation ramifiée clôturent le rapport.

Nice, le 4–12–1998

1. Séquences

Soit A un anneau fini. À chaque élément inversible ω du groupe multiplicatif de A, et à chaque caractère μ du groupe additif de A, nous associons une séquence s(μ, ω) définie par :

s(μ, ω)(i) = μ(ω^{i})

Cette construction généralise la notion de m-séquence. En faisant varier le caractère μ, on peut obtenir une famille de séquences possèdant de bonnes propriétés d’inter-corrélations, comme par exemple les séquences quaternaires de P. Solé [Sol89], et celles de S. Boztas et P. Kumar dans [BK94]. Par ailleurs, les séquences binaires de Gold sont bien de ce type.

D’une manière générale, si Γ désigne une partie du groupe des caractères additifs de A que peut-on dire des propriétés d’intercorrélation de la famille de séquences :

F(A, ω, Γ) = {s(μ, ω) | μ ∈ Γ}

Notons S le groupe engendré par ω dans A^{×}. Lorsque A est commutatif, les caractères de S se prolongent en des caractères multiplicatifs de A. Et, lorsque χ décrit le groupe des caractères multiplicatifs de A la somme de caractères :

G_{S}(χ, μ) = ∑_{s∈S} χ(s)μ(s)

décrit le spectre de Fourier de la séquence s(μ, ω). La bonne connaissance du spectre donne une information sur les propriétés de corrélations de la séquence, d’où mon intérêt pour ces sommes de caractères.

Avant d’aller plus loin remarquons que les anneaux commutatifs dont le groupe des unités est cyclique sont des acteurs privilégiés pour cette construction. Rappelons [McD74] que le groupe des unités de A est cyclique si et seulement si A est isomorphe à l’un des six anneaux :

(a)  F_{q}
(b) Z/p^{m}Z p > 2 et m > 0
(c)  Z/4Z
(d)  F_{p}[X]/(X^{2})
(e)  F_{2}[X]/(X^{3})
(f) Z/4Z[X]/(2X, X^{2} − 2)

2. Sommes de Gauss

Soit K un corps fini de cardinal q et de caractéristique p. Soit χ un caractère multiplicatif de K et soit ψ un caractère additif de K. La somme de Gauss attachée à ces deux caractères est :

G_{K}(χ, ψ) = ∑_{x∈K^{×}} χ(x)ψ(x)

Si χ et ψ désignent des caractères non triviaux alors, des relations d’orthogonalités , on tire que :

G_{K}(1, 1) = q − 1, G_{K}(χ, 1) = 0, G_{K}(1, ψ) = −1.

Notons n l’ordre de χ, et désignons respectivement par ζ_{p} et ζ_{n} les racines principales d’ordre p et d’ordre n. La somme de Gauss G_{K}(χ, ψ) est un entier algébrique du corps cyclotomique Q(ζ_{p}, ζ_{n}). Si les caractères χ et ψ sont non triviaux alors la somme de Gauss G_{K}(χ, ψ) est de module \sqrt{q}. En effet,

|G_{K}(χ, ψ)|^{2} = ∑_{x∈K^{×}} ∑_{y∈K^{×}} χ(x/y)ψ(x − y)

= ∑_{z∈K^{×}} χ(z) ∑_{y∈K^{×}} ψ((z − 1)y)

= q − ∑_{z∈K^{×}} χ(z)

= q

Par ailleurs, pour chaque idéal premier P au dessus de p, dans l’anneau Z[ζ_{p}, ζ_{q−1}], on sait définir deux caractères privilégiés. Le caractère multiplicatif de Teichmuller ω d’ordre q − 1 et le caractère additif canonique μ tels que le développement P -adique de la somme de Gauss G_{K}(ω̄^{a}, μ) vérifie la congruence de Stickelberger [Sti90] :

G_{K}(ω̄^{a}, μ) ≡ −\frac{(ζ_{p} − 1)^{S(a)}}{R(a)} (mod (ζ_{p} − 1)^{S(a)}P) (1)

où S(a) est la somme des chiffres de a ( dans la base p ) et R(a) le produit de leur factorielle. Cette congruence conduit à la factorisation de l’idéal principal engendré par G_{K}(ω̄^{a}, μ)^{q−1} :

(G_{K}(ω̄^{a})^{q−1}) = ∏_{t∈(Z/(q−1)Z)^{∗}} σ_{t}^{−1}(P)^{t}

où σ_{t} est l’automorphisme de Galois de Q(ζ_{q−1}) qui transforme ζ_{q−1} en ζ_{q−1}^{t}. Le lecteur intéressé par les démonstrations peut consulter [Lan90].

Maintenant, supposons que A soit un anneau fini. Pour chaque homomorphisme χ du groupe multiplicatif de A dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes, et pour chaque caractère ψ du groupe additif de A, nous définissons la somme de Gauss complète :

G_{A}(χ, ψ) = ∑_{x∈A^{×}} χ(x)ψ(x)

De même, si X désigne une partie quelconque de A, , on définit la somme de Gauss incomplète :

G_{X}(χ, ψ) = ∑_{x∈X∩A^{×}} χ(x)ψ(x)

Ces sommes de Gauss construites sur des anneaux apparaissent chez quelques auteurs. Les sommes quadratiques de Lamprecht [Lam89], les sommes sous certains groupes classiques [Kim97, KL96] etc... voir la note bibliographique de [BEW98] pages 55–56.

Un anneau fini est somme directe d’anneaux locaux ce qui ramène l’étude des sommes de Gauss à celle des sommes de Gauss sur un anneau local. Dans ce rapport, j’utilise des méthodes élémentaires pour obtenir des résultats sur le module des sommes de Gauss complètes et incomplètes dans le cas d’un anneau quasi-Frobenius local. Dans le cas particulier d’un anneau de Galois, et pour certaines sommes incomplètes, j’obtiens des congruences analogues aux congruences de Stickelberger.

3. Structures des Anneaux Locaux

Dans cette section, je rappelle les théorèmes de structures des anneaux locaux commutatifs. Pour les démonstrations, je renvoie le lecteur vers la monographie de McDonald [McD74]. Soient A et B deux anneaux locaux d’idéaux maximaux M_{A} et M_{B} tel que M_{A} ⊂ M_{B}: on dit que B est une extension (locale) de A. L’extension est dite non ramifiée si M_{B} est égal à l’idéal de B engendré par M_{A}. Soit G le groupe des A-automorphismes de B. L’anneau B^{G} formé des éléments de B fixes sous l’action de G est une extension de A. On dit que l’extension B de A est galoisienne si B est séparable et si B^{G} = A.

Proposition 3.1. L’extension B/A est galoisienne si et seulement si elle est non ramifiée.

En particulier, pour ℓ > 0, il existe une et une seule extension non-ramifiée de degré f de l’anneau Z/p^{ℓ}Z; c’est l’anneau de Galois de caractéristique p^{ℓ} et de degré f le plus souvent noté GR(p^{ℓ}, f)

GR(p^{ℓ}, f) ∼ Z[X]/(g(X), p^{ℓ})

où g(X) est un polynôme unitaire dont la restriction modulo p est irréductible dans F_{p}[X].

Théorème 3.1. Soit A un anneau local d’idéal maximal M, de caractéristique p^{ℓ} et de degré résiduel f.

(a) A contient un et un seul anneau isomorphe à l’anneau de Galois GR(p^{ℓ}, f) : c’est l’anneau des coordonnées de A.

(b) Si de plus l’idéal M admet un système de t générateurs x_{1}, x_{2}, …, x_{t} alors

GR(p^{ℓ}, f)[x_{1}, x_{2}, …, x_{t}]

Si de plus M est principal engendré par π alors A est un anneau de valuation ⟨⟨chain-ring⟩⟩ et tout élément a ∈ A \ {0} s’écrit d’une et une seule façon sous la forme a = uπ^{ν(a)}, où u est inversible, et ν(a) est un entier positif ou nul; c’est la valuation de a.

Théorème 3.2. Soit A un anneau de valuation, d’indice de nilpotence^{1} n, et de caractéristique p^{m}.

(a) Il existe un polynôme d’Eisenstein g(X) de degré s et un entier t > 0 tel que

A ∼ GR(p^{m}, f)[X]/(g(X), p^{m−1}X^{t}), n = s(m − 1) + t.

(b) Lorsque p ne divise pas s,

A ∼ GR(p^{m}, f)[X]/(X^{s} + p, p^{m−1}X^{t})

4. Anneaux quasi-Frobenius

Commençons par introduire trois notions : anneaux quasi-Frobenius, modules injectifs, et caractères admissibles sur un anneau A.

• Pour chaque partie X de A, on note ann_{G}(X) l’annulateur de X par la gauche, c’est un idéal à gauche, bilatère si X est un idéal à gauche. De la même façon, on définit ann_{D}(X) l’annulateur de X par la droite. L’anneau A est dit quasi-Frobenius si pour chaque idéal à gauche G et pour chaque idéal à droite D, on a les égalités :

ann_{G} ∘ ann_{D}(G) = G, et ann_{D} ∘ ann_{G}(D) = D.

• Un A-module I est dit injectif si tout homomorphisme f de M dans I se relève au travers de n’importe quelle injection g de M dans un module arbitraire M′, c’est-à-dire qu’il existe un homomorphisme f^{∗} de M′ dans I tel que le diagramme ci-dessous soit commutatif

0 ⟶ M ⟶^{g} M′
f↓  f^{∗}
I

1. L’indice de nilpotence de A désigne le plus petit entier n tel que M^{n} = 0.

• Le groupe des caractères additifs devient un A-module en posant pour chaque élément a ∈ A et pour chaque caractères ψ ∈ Â:

a.ψ(x) = ψ_{a}(x) = ψ(ax).

Un caractère ψ est dit admissible si l’application a ↦ ψ_{a} est un isomorphisme. Un caractère est admissible si et seulement si (0) est le plus grand idéal à gauche contenu dans le noyau de ψ. L’intérêt d’un caractère admissible est de décrire le dual de A.

Proposition 4.1. Soit A un anneau. Les propositions suivantes sont équivalentes :

(1) A possède un caractère admissible.

(2) Le module A-module A est injectif.

(3) L’anneau A est quasi-Frobenius.

Démonstration. La preuve n’est pas immédiate. En fait, il faut faire intervenir une quatrième définition, celle de Nakayama, d’un anneau quasi-Frobenius. Je renvoie le lecteur à [CR88].

Les anneaux quasi-Frobenius sont légions. Les corps finis, les anneaux Z/mZ, les anneaux de Galois sont des anneaux quasi-Frobenius. La classe des anneaux quasi-Frobenius est stable sous l’action des constructeurs algébriques usuels. Un produit d’anneaux quasi-Frobenius est quasi-Frobenius. L’anneau des matrices carrés à coefficients dans un anneau quasi-Frobenius est quasi-Frobenius. Enfin un anneau de groupe à coefficients dans un anneau de quasi-Frobenius est quasi-Frobenius. Tout cela se démontre sans difficulté en utilisant le critère (1) de la proposition ci-dessus.

Proposition 4.2. Soit A un anneau commutatif. L’anneau A est quasi-Frobenius si et seulement si c’est un produit d’anneaux locaux quasi-Frobenius.

Proposition 4.3. Soit A un anneau commutatif local d’idéal maximal M et de corps résiduel K. L’anneau A est quasi-Frobenius si et seulement si l’une des assertions qui suivent est vérifiée :

(1) L’anneau A possède un et un seul idéal minimal.

(2) L’idéal ann(M) et le corps résiduel K ont le même cardinal.

Par exemple, l’anneau A = F_{2}[X, Y]/(X^{2}, XY, Y^{2}) n’est pas quasi-Frobenius. En effet, désignons par x la classe de X, et par y la classe de Y. L’anneau A est local d’idéal maximal M = (x, y). L’annulateur de M est M de cardinal 4, alors que le corps résiduel ne contient que 2 éléments. En fait, si x désigne la classe de X dans A:

ann(ann(xA)) = ann(M) = M ≠ xA

Démonstration. Point n^{∘} Soit I l’unique idéal minimal de A, et considérons un caractère non trivial du groupe I. On sait [Ser78] que I se prolonge en un caractère de A. Si J est un idéal contenu dans le noyau de ce prolongement alors J est nul puisqu’il ne contient pas l’unique idéal minimal de A.

Réciproquement, Soit I un idéal minimal de A. On a IM = I ou bien IM = (0). Du lemme de Nakayama [Lan90], on déduit IM = (0) et donc ann(I) = M. Comme l’anneau est de quasi-Frobenius I = ann(M).

Point n^{2}. ann(M) est un K-espace vectoriel. Si sa dimension n’est pas 1 alors il contient un sous-espace propre de dimension 1 qui est nécessairement un idéal. Ce qui est contradictoire.

Réciproquement, si I est un idéal minimal alors I est inclus dans l’annulateur de M. Or, ce dernier est un K-espace vectoriel de dimension 1.

5. Sommes sur un anneau local quasi-Frobenius

Soit A un anneau commutatif, quasi-Frobenius, local d’idéal maximal M et de corps résiduel K. Le cardinal de K est q, c’est une puissance d’un nombre premier p.

On suppose que A n’est pas un corps !

|A| = q|M|, |A^{×}| = (q − 1)|M|, q = |K| = |ann(M)|. (2)

La réduction modulo M divise l’ordre des éléments, on en déduit qu’il existe dans A un élément d’ordre q − 1. De sorte que, la suite exacte :

1 ⟶ 1 + M ⟶ A^{×} ⟶ K^{×} ⟶ 1

se décompose, A^{×} possède un groupe cyclique d’ordre q − 1. Ce groupe est unique puisque l’ordre du p-groupe M est premier avec q − 1, on le note T_{A}^{×}; c’est le groupe de Teichmuller de A que l’on identifie au groupe K^{×}. Le groupe T_{A}^{×} augmenté de 0 forme un système de représentants multiplicatifs de A modulo M; c’est l’ensemble de Teichmuller, noté T_{A}^{0}, qui s’identifie à K. Chaque élément x de A sécrit d’une et une seule façon sous la forme = a + m avec a ∈ T_{A}^{0} et m ∈ M, et bien sûr, x est inversible si et seulement si a ≠ 0. Notons r l’indice de nilpotence de A. À la chaine d’idéaux :

(0) = M^{r} ⊂ M^{r−1} ⊂ ⋯ ⊂ … M^{2} ⊂ M^{1}

correspond, en posant U^{(i)} = 1 + M^{i}, une filtration du groupe des unités :

{1} = U^{(r)} ⊂ U^{(r−1)} ⊂ ⋯ ⊂ U^{(2)} ⊂ U^{(1)} ⊂ A^{×} = U^{(0)}

Notons que ann(M) n’est pas forcément égal à M^{(r−1)}. Le sous-groupe^{2} 1 + ann(M) du groupe multiplicatif A^{×} joue un rôle trés particulier dans la suite, nous le notons U(A) : c’est le groupe des unités fortes de A.

Soit ψ un caractère additif arbitraire. Le caractère local de A, et les relations d’orthogonalités permettent de caculer la somme complète G_{A}(1, ψ).

G_{A}(1, ψ) = \begin{cases}|A^{×}|, & ψ = 1; \\ −|M|, & ψ ∈ M^{⊥} − \{1\}; \\ 0, & ψ ∉ M^{⊥}. \end{cases} (3)

Proposition 5.1. Soit ψ un caractère admissible et soit χ un caractère multiplicatif.

|G_{A}(χ, ψ)|^{2} = \begin{cases}|A|, & χ ⊥̸ U(A) \\ 0, & χ ⊥ U(A) \end{cases}

2. A n’est pas un corps.

Démonstration.

\begin{aligned}|G_{A}(χ, ψ)|^{2} & = ∑_{x∈A^{×}} ∑_{y∈A^{×}} χ(x/y)ψ(x − y) \\ & = ∑_{z∈A^{×}} ∑_{y∈A^{×}} χ(z)ψ((z − 1)y) \\ & = |A| − |M| ∑_{z∈U(A)} χ(z) \end{aligned} (4)

De ce résultat (4) sur le module des sommes de Gauss complètes, on déduit une estimation sur les sommes incomplètes.

Proposition 5.2. Soit S un sous-groupe de A^{×}, χ un caractère multiplicatif et ψ un caractère admissible. Si χ ⊥ U(A) alors

|G_{S}(χ, ψ)| ≤ \frac{q − ϵ}{q}\sqrt{|A|}

où ϵ désigne le cardinal de l’intersection des groupes U(A) et S.

Démonstration.

G_{S}(χ, ψ) = \frac{1}{|S^{⊥}|} ∑_{θ∈S^{⊥}} G_{A}(χθ, ψ)

= \frac{1}{|S^{⊥}|} ∑_{θ⊥S,χθ⊥̸U(A)} G_{A}(χθ, ψ)

≤ \frac{1}{|S^{⊥}|}|\{θ ∈ S^{⊥} | θ ⊥̸ U(A)\}|\sqrt{|A|}

Le cardinal de SU(A) vaut \frac{q|S|}{ϵ}, et donc

\frac{|S^{⊥} ∩ U(A)^{⊥}|}{|S^{⊥}|} = \frac{ϵ}{q}

d’où l’estimation proposée.

6. Les anneaux de Galois

Soit A l’anneau de Galois de caractéristique p^{ℓ} et de degré résiduel f. Soit γ un générateur du groupe de Teichmuller T_{A}^{×}. L’idéal maximal de A est monogène engendré par p. L’ensemble T_{A}^{0} est un système de représentants multiplicatifs du corps K = A/(p) d’ordre q = p^{f}. Chaque élément a de A se développe d’une et une seule façon en une somme

a = ∑_{i=0}^{ℓ−1} x_{i}p^{i}, (5)

où les x_{i} sont des éléments de T_{A}^{0}. Le groupe des Z/p^{ℓ}Z-automorphismes est engendré par l’automorphisme de Frobenius σ qui envoie x sur ∑_{i=0}^{ℓ−1} x_{i}^{p}p^{i}. L’application trace x ↦ tr_{A}(x) = ∑_{j=0}^{ℓ−1} σ^{j}(x) est une forme linéaire du Z/p^{ℓ}Z-module A. La non-dégénérescence de la forme bilinéaire (x, y) ↦ tr_{A}(xy) permet de définir un caractère additif admissible privilégié, le caractère canonique de A,

μ_{A}(x) = ζ_{p^{ℓ}}^{tr_{A}(a)}

Pour travailler dans l’anneau de Galois A, on dispose de trois approches : vecteurs de Witt, relèvement de Hensel et extension du corps des nombres p-adiques.

6.1. Les vecteurs de Witt. On utilise l’application

x_{0} + px_{1} + ⋯ + x_{ℓ−1}p^{ℓ−1} ↦ (x_{0}, x_{1}, …, x_{ℓ−1}) (6)

pour transporter les structures de A vers l’ensemble K^{f} des vecteurs de Witt [Ser68]. Pour chaque indice j, il existe des polynômes S_{j} et P_{j} dans l’anneau Z[X_{0}, X_{1}, … X_{j}, Y_{0}, Y_{1}, …, Y_{j}] tels que

\begin{aligned}(x + y)_{j} & = S_{j}(x_{0}, x_{1}, …, x_{j}, y_{0}, y_{1}, …, y_{j}), \\ (xy)_{j} & = P_{j}(x_{0}, x_{1}, …, x_{j}, y_{0}, y_{1}, …, y_{j}). \end{aligned}

Les polynômes S_{j} et P_{j} ne dépendent pas de ℓ.

S_{0}(x_{0}, y_{0}) = x_{0} + y_{0} S_{1}(x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1}) = x_{1} + y_{1} + \frac{x_{0}^{p} + y_{0}^{p} − (x_{0} + y_{0})^{p}}{p}
P_{0}(x_{0}, y_{0}) = x_{0}.y_{0} P_{1}(x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1}) = y_{o}^{p}x_{1} + y_{1}x_{0}^{p}

6.2. Relèvement de Hensel. La notion de relèvement de Hensel est basée sur la proposition suivante :

Proposition 6.1. Soient P (X) et Q(X) deux polynômes unitaires à coefficients entiers tels que P (X)Q(X) = X^{q} − X modulo p^{ℓ−1}. Il existe deux polynômes unitaires à coefficients entiers P_{ℓ} et Q_{ℓ} tels que :

\begin{matrix}P_{ℓ}(X) ≡ P (X) & Q_{ℓ}(X) ≡ Q(X) \\ P_{ℓ}(X) & ≡ Q_{ℓ}(X) \end{matrix}

où toutes les équivalences sont modulo p^{ℓ}.

Le polynôme P_{ℓ} est uniquement déterminé modulo p^{ℓ}: c’est le relevé d’Hensel de P. Partons d’un polynôme unitaire F_{1} à coefficients entiers, de degré f, dont la réduction modulo p est un polynôme primitif. Notons F_{ℓ}(X) le polynôme obtenu en partant de F_{1} , après ℓ − 1 relèvements successifs. L’anneau de Galois A est isomorphe à Z[X]/(p^{ℓ}, F_{ℓ}(X)), de plus la classe de X engendre le groupe de Teichmüller.

6.3. Extensions du corps Q_{p}. Soit α une racine de l’unité d’ordre q − 1 dans une extension convenable du corps des nombres p-adiques. L’extension Q_{p}(α) de Q_{p} est non ramifiée de degré f. L’idéal engendré par p dans l’anneau Z_{p}[α] est maximal.

A ∼ Z_{p}[α]/(p^{ℓ})

Proposition 6.2. Si z est un élément de trace nulle dans l’anneau de Galois A alors il existe y ∈ A tel que σ(y) − y = z.

Proof. Le groupe de Galois G est cyclique et agit sur A. Il suffit de montrer que H^{1}(G, A^{+}) = (0). Pour ℓ = 1 c’est le théorème 90 de Hilbert. La suite exacte :

0 ⟶ pA^{+} ⟶ A ⟶ K ⟶ 0

donne

(0) ⟶ H^{1}(G, pA^{+}) ⟶ H^{1}(G, A) ⟶ H^{1}(G, K)

d’où le résultat puisque pA^{+} ∼ GR(p^{ℓ−1}, f)^{+}.

7. Sommes de caractères dans un anneau de Galois

Soit F (X) = f_{0}(X) + p^{1}f_{1}(X) + ⋯ + p^{ℓ−1}f_{ℓ−1}(X), où les f_{i}(X) sont des polynômes à coefficients dans T_{A}^{×}. On note Deg(f) le degré pondéré de f :

Deg(f) = max{p^{ℓ−i} deg(f_{i}) | 0 ≤ i < ℓ}

Théorème 7.1. L’ensemble des ℓ+1-uplets (y_{0}, y_{1}, …, y_{ℓ−1}, x) de T_{A}^{0}^{ℓ}×T_{A}^{0} obtenu en posant z = ∑_{i=0}^{ℓ−1} y_{i}p^{i} et en faisant varier (z, x) dans l’ensemble des solutions de l’equation σ(z) − z = f(X) se déduit d’une courbe de genre \frac{(Deg(f)−1)(q−1)}{2} obtenue par une tour de ℓ extensions d’Artin-Schreier.

Proof. Voir [CHK95].

Pour chaque entier s, notons A_{s} l’extension galoisienne de A. Pour chaque caractère additif ψ ∈ A^{+} , notons ψ^{(s)} ∈ A_{s}^{+} le relèvement de ψ par la trace

ψ^{(s)} = ψ ∘ tr_{A_{s}/A}

Théorème 7.2. Soit ψ un caractère additif non trivial. Il existe Deg(F)−1 entiers algébriques ω_{i} de module \sqrt{q}, tels que

− ∑_{x∈T_{As}^{×}} ψ^{(s)}(F (x)) = ∑_{i=1}^{Deg(f)−1} ω_{i}^{s}

Proof. C’est une conséquence de (7.1).

Corollaire 7.1. Soit μ le caractère additif canonique de l’anneau de Galois A,

|G_{T_{A}^{×}}(1, μ) + 1| ≤ (p^{ℓ−1} − 1)\sqrt{q}

En utilisant une variante de la méthode de Stepanov, voir [LN83], on démontre une formule analogue dans le cas multiplicatif. Pour tout caractère multiplicatif χ de l’anneau de Galois A, notons χ^{(s)} le relèvement de χ par la norme dans A_{s}

χ^{(s)} = χ ∘ N_{A_{s}/A}

Théorème 7.3. Soit ψ un caractère additif non trivial et soit χ un caractère multiplicatif non trivial sur T_{A}^{×}. Il existe Deg(f) entiers algébriques ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{D(f)}, de module au plus \sqrt{q}, tels que

− ∑_{x∈T_{As}^{×}} χ^{(s)}(x)ψ^{(s)}(F (x)) = ∑_{i=1}^{D(f)} ω_{i}^{s}

Proof.

Proposition 7.1. Soit μ le caractère additif canonique de l’anneau A et soit χ un non caractère non trivial du groupe T_{A}^{×}

|G_{T_{A}^{×}}(χ, μ)| ≤ p^{ℓ−1}\sqrt{q}

Lorsque f = 2 et ℓ = 2, l’estimation fournie par la proposition 3.2 est meilleure.

8. Les fonctions traciques

Soit x un Teichmuller de l’anneau de Galois A. Considérons le développement p-adique de la trace.

tr_{A}(x) = ∑_{j=0}^{ℓ−1} t_{j}(x)p^{j}. (7)

où les fonctions t_{j} sont des fonctions de K dans F_{p}. Nous dirons que les fonctions t_{j} sont des fonctions traciques. La première fonction tracique, t_{0}, n’est rien d’autre que la trace du corps K. Continuons dans le cas de la caractéristique 2^{ℓ}. À l’aide des vecteurs de Witt , on détermine facilement l’expression de la seconde fonction tracique :

t_{1}(x) = ∑_{0≤i<j≤f} x^{2^{i}+2^{j}} (8)

Pour déterminer t_{2} c’est un petit peu plus compliqué. Nous pouvons utiliser le relèvement de Hensel. Soit β ∈ K, et considérons le polynôme P (X) = ∏_{i=0}^{f−1}(X − β^{p^{i}}). Pour chaque entier ℓ, notons P_{ℓ}(X) le relèvement de P à coefficient dans Z/2^{ℓ}Z, et posons

P_{ℓ}(X) = ∑_{i=0}^{f} S_{i}^{(ℓ)}(β)X^{f−i}.

On sait que :

P_{ℓ+1}(X^{2}) = (−1)^{f}P_{ℓ}(X)P_{ℓ}(−X)

D’où l’on tire :

\begin{aligned}S_{1}^{(ℓ+1)}(β) & = 2S_{2}^{(ℓ)}(β) − S_{1}^{(ℓ)}(β)^{2}, \\ S_{2}^{(ℓ+1)}(β) & = 2S_{4}^{(ℓ)}(β) − 2S_{1}^{(ℓ)}(β)S_{3}^{(ℓ)}(β) + S_{2}^{(ℓ)}(β)^{2} \end{aligned}

En particulier, on retouve que t_{1}(β) = ∑_{0≤i<j<f} β^{2^{i}+2^{j}}. Ainsi, t_{1} est une forme quadratique alors que t_{2} apparaît comme une fonction booléenne de degré 4.

Avant d’etudier t_{1}, rappelons quelques éléments de la théorie des formes quadratiques. Soit E un espace vectoriel de dimension m sur F_{2}. Une forme quadratique q est une application de E dans F_{2} tel que l’application (x, y) ↦ q(x + y) + q(x) + q(y) soit une forme bilinéaire ϕ. L’ensemble des vecteurs x tel que ϕ(x, y) = 0, ∀y ∈ F_{2}^{m} est un espace vectoriel : c’est le noyau de q, sa dimension à la même parité que m et la forme q est dite rang maximal si la dimension de son noyau est 0 ou 1. Notons Z(q) le nombre de zéros de q.

Proposition 8.1. Soit q une forme quadratique de rang maximal sur un espace de dimension paire m = 2t. Le nombre de zéros de q vaut :

Z(q) = 2^{m−1} − (−1)^{Arf(q)}2^{t−1}

où Arf(q) désigne l’invariant de Arf de q.

L’invariant Arf(q) prend la valeur 0 ou 1. Il prend la valeur 1 si la quadrique n’a pas beaucoup de points : c’est le cas elliptique, l’autre cas est dit hyperbolique. Pour calculer l’invariant de Arf de q, on utilise une base symplectique : (u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}, …, u_{t}, v_{t}) , c’est-à-dire telle que ϕ(u_{i}, u_{j}) = 0 et ϕ(u_{i}, v_{j}) = δ_{ij}. L’invariant de Arf de q vaut

Arf(q) = ∑_{i=1}^{t} q(u_{i})q(v_{i})

De façon plus abstraite, l’invariant de Arf détermine l’algèbre de Clifford de la forme quadratique. La référence [Die91] est usuelle en la matière. Mais dans [Dye78], on trouvera une preuve élémentaire de l’invariance de Arf(q).

Proposition 8.2. Soit q une forme quadratique de rang maximal sur un espace de dimension impaire m = 2t + 1. Le nombre de zéro de q vaut :

Z(q) = 2^{m−1} + v(q)2^{t−1}

où v(q) vaut 0 si q est défective. Si q n’est pas défective alors v(q) est donné par l’invariant de Arf de la restriction de q à ker(q)^{⊥}.

Rappelons que la quadrique est défective, si la restriction de q à son noyau n’est pas nulle : la quadrique est dite parabolique. Calculons ϕ la forme bilinéaire symplectique associée à q :

q(x + y) = ∑_{i<j}(x + y)^{2^{i}}(x + y)^{2^{j}}

= q(x) + q(y) + ∑_{i<j} x^{2^{i}}y^{2^{j}} + ∑_{i<j} y^{2^{i}}x^{2^{j}}

= q(x) + q(y) + ∑_{i<j} x^{2^{i}}y^{2^{j}} + ∑_{j<i} y^{2^{j}}x^{2^{i}}

= q(x) + q(y) + ∑_{j} (tr(x) + x^{2^{j}})y^{2^{j}}

= q(x) + q(y) + tr(x)tr(y) + tr(xy)

Et donc,

ϕ(x, y) = tr(x)tr(y) + tr(xy) (9)

L’élément z est dans le noyau de q si et seulement si tr(z) + z = 0, et donc la forme quadratique est de rang maximal.

9. Somme de Gauss triviale

Désignons par μ_{A} le caractère additif canonique de l’anneau de Galois A = GR(p^{ℓ}, f). Notons T_{A}^{×} le groupe des Teichmüller. La somme de Gauss incomplète G_{T_{A}^{×}}(1, μ_{A}) est la somme de Gauss triviale. Pour tout caractères additifs ψ, 1+G_{T_{A}^{×}} est noté S_{A}(μ). Les calculs de la sections précédentes permettent de la déterminer explicitement, en caractéristique 4. Notons N(a, b) le nombre de solutions du système : t_{0}(x) = a, et t_{1}(x) = b.

S_{A}(μ) = 1 + G_{T_{A}^{×}}(1, μ_{A}) = ∑_{a,b∈F_{2}} N(a, b)i^{a+2b}

• m pair, m = 2t. La forme quadratique q est de rang maximal. Le nombre de solution de l’equation q(x) = 0 vaut 2^{m−1} + α2^{t−1}. La restriction de q à l’hyperplan tr(x) = 0 est encore de rang maximal. Le nombre de solutions du système :

tr(x) = 0, q(x) = 0

vaut donc 2^{m−2} + β2^{t−1}.

Et par suite,

N(0, 0) = 2^{m−2} + β2^{t−1}  N(0, 1) = 2^{m−2} − β2^{t−1}
N(1, 0) = 2^{m−2} + (α − β)2^{t−1}  N(1, 1) = 2^{m−2} + (β − α)2^{t−1}

Et finalement,

1 + G_{T_{A}^{×}}(1, μ) = (β + (α − β)i)2^{t}

• m impair, m = 2t + 1. La forme quadratique q est non dégénérée, et le nombre de solutions de l’equation q(x) = 0 est égal à 2^{m−1} +β2^{t}. De plus sa restriction à l’hyperplan d’equation tr(x) = 0 est encore de rang maximal. Le nombre de solution du système :

tr(x) = 0, q(x) = 0,

vaut donc 2^{m−2} + α2^{t−1}.

Et par suite,

N(0, 0) = 2^{m−2} + α2^{t−1}  N(0, 1) = 2^{m−2} − α2^{t−1}
N(1, 0) = 2^{m−2} + (2β − α)2^{t−1}  N(1, 1) = 2^{m−2} − (2β − α)2^{t−1}

Et finalement,

1 + G_{T_{A}^{×}}(1, μ) = (α + (2β − α))2^{t}

Pour déterminer ces sommes complètement, il faut déterminer l’invariant de Arf des formes quadratiques correspondantes, et on peut procéder de deux façons. La première consiste à trouver une base symplectique, voir [NK]. La seconde est basée sur le théorème 7.2 qui montre que

S_{A}(μ) = 1 + G_{T_{A}^{×}}(1, μ_{A}) = −(−1)^{m}(1 + i)^{m}

D’où l’on tire les valeurs de α et de β en fonction de la congruence modulo 8 de m. Lorsque m est pair, on a −i^{t} = β +(α−β)i, et lorsque m est impair, on a i^{t}(1 + i) = α + (2β − α)i.

\begin{matrix}m pair \\ t & β & α \\ 0 & −1 & −1 \\ 1 & 0 & −1 \\ 2 & +1 & +1 \\ 3 & 0 & +1 \end{matrix} \begin{matrix}m impair \\ t & β & α \\ 0 & −1 & +1 \\ 1 & 0 & −1 \\ 2 & −1 & −1 \\ 3 & 0 & +1 \end{matrix}

Enfin, pour être complet, signalons la relation qui lie la somme de Gauss G_{T_{A}^{×}}(1, μ_{θ}) à la somme G_{T_{A}^{×}}(1, μ).

Proposition 9.1. Soit θ ∈ A = GR(4, f). On écrit θ = a + 2b avec a et b dans T_{A}^{0},

S_{A}(μ_{θ}) = \begin{cases}μ_{A}(\frac{b}{a})S_{A}(μ_{A}), & a ≠ 0; \\ q, & a = b = 0; \\ 0, & a = 0 ≠ b. \end{cases}

Proof. La démonstration qui suit est due à Helleseth et Yang [HY97], elle repose sur la relation :

x ⊕ y = x + y + 2\sqrt{xy} (10)

qui donne le représentant multiplicatif de la somme de deux éléments x et y de T_{f}^{0}. En particulier,

μ_{A}(x ⊕ y) = μ_{A}(x + y + 2xy)

1 + G_{T_{A}^{×}}(1, μ_{θ}) = ∑_{x∈T_{A}^{0}} μ_{A}((a + 2b)x)

= ∑_{x∈T_{A}^{0}} μ_{A}((1 + 2\frac{b}{a})x)

= ∑_{x∈T_{A}^{0}} μ_{A}(x + 2\frac{b}{a}x)

En appliquant la formule (??),

= μ_{A}(b/a) ∑_{x∈T_{A}^{0}} μ_{A}(x ⊕ b/a)

10. Congruences en caractéristique quatre

Dans cette section, nous montrons que les sommes de Gauss sur l’anneau de Galois de caractéristique 4 satisfont des congruences analogues aux congruences de Stickelberger. Les notations sont inchangées, en particulier, μ_{A} et μ_{K} désignent les caractères le additifs canoniques de A :

= GR(4, f) et de son corps résiduel K. Le point de départ est une formule qui relie des sommes de Gauss avec la somme de caractère H(χ, μ) = ∑_{s∈T_{A}^{0}−{0,1}} μ_{A}(s)χ(s/s + 1), nous obtenons la relation

G_{T_{A}^{×}}(χ, μ_{A})^{2} = G_{K}(χ, μ_{K})[1 + G_{T_{A}^{×}}(1, μ_{A}) + H(χ, μ_{A})]

Proof. Soit χ un caratère multiplicatif. Prenons notre courage à deux mains et calculons le carré de la somme G_{T_{A}^{×}}(χ, μ_{A}).

G_{T_{A}^{×}}(χ, μ_{A})^{2} = ∑_{x∈T_{A}^{×}} ∑_{y∈T_{A}^{×}} χ(xy)μ_{A}(x + y)

par la relation ??,

= ∑_{x,y∈T_{A}^{×}} χ(xy)μ_{A}(x ⊕ y + 2xy)

= ∑_{\begin{matrix}x⊕y=u \\ xy=v \end{matrix}} χ(v)μ_{A}(u + 2v)

= ∑_{x∈K^{×}} χ(x^{2})μ_{K}(x^{2}) + 2 ∑_{\begin{matrix}u∈T_{A}^{×} \\ tr_{K/F_{2}}(v/u^{2})=0 \end{matrix}} χ(v)μ_{A}(u + 2v)

= G_{K^{×}}(χ, μ_{K}) + 2 ∑_{\begin{matrix}u∈T_{A}^{×} \\ tr_{K/F_{2}}(w)=0 \end{matrix}} χ(u^{2}w)μ_{A}(u + 2u^{2}w)

en changeant u par u^{2},

= G_{K^{×}}(χ, μ_{K}) + 2 ∑_{\begin{matrix}u∈T_{A}^{×} \\ tr_{K/F_{2}}(w)=0 \end{matrix}} χ(uw)μ_{A}(u + 2uw)

= G_{K^{×}}(χ, μ_{K}) + 2 ∑_{u≠0} μ_{A}(u)χ(u) ∑_{tr_{K/F_{2}}(w)=0} χ(uw)μ_{K}(uw).

On vérifie, par exemple avec la formule de Poisson, que

∑_{tr_{K/F_{2}}(w)=0} χ(w)μ_{K}(uw) = \frac{1}{2}[G_{K}(χ, μ_{K}_{u+1}) + G_{K}(χ, μ_{K}_{u})]

= \frac{1}{2} \begin{cases}[χ̄(u + 1) + χ̄(u)]G_{K}(χ, μ_{K}), & u ≠ 1; \\ G_{K}(χ, μ_{K}), & u = 1. \end{cases}

ce qui permet de continuer par

G_{T_{A}^{×}}(χ, μ_{A})^{2} = G_{K^{×}}(χ, μ_{K}) + μ_{A}(1)G_{K}(χ, μ_{K})

+ G_{K}(χ, μ_{K}) ∑_{u∉{0,1}} μ_{A}(u)χ(u)[χ̄(u + 1) + χ̄(u)]

= G_{K}(χ, μ_{K})[1 + G_{T_{A}^{×}}(1, μ_{A}) + H(χ, μ_{A})]

Proposition 10.1. Soit P un idéal premier au-dessus de 2 dans l’anneau Z[i, ξ]. Si ω désigne le caractère du groupe des caractères de T_{A}^{×} décrit par les congruences de Stickelberger alors

val_{P}(G_{T_{A}^{×}}(ω^{a}, μ_{A})) > S(a).

Proof. Il suffit de vérifier que la somme de Jacobi qui intervient dans la formule (10) est un élément non-inversible modulo P.

∑_{u∉{0,1}} ω^{a}(u + 1)ω̄^{a}(u)μ(u) ≡ ∑_{u∉{0,1}} ω^{a}(u + 1)ω̄^{a}(u) (mod P)

≡ ∑_{u∉{0,1}}(u + 1)^{a}u^{q−1−a}

≡ 2^{a}

11. Famille d’intercorrélation

Un q − (M, L, θ_{a}, θ_{i}) ensemble d’intercorrélation F est un ensemble de M séquences de longueurs L à valeurs dans l’ensemble des racines qe de l’unité dont l’autocorrélation hors phase n’exède pas θ_{a}, et telles que l’intercorrélation de deux séquences distinctes de dépasse pas θ_{i}. On note

θ(F) = max{θ_{a}, θ_{i}}.

En télécommunication, pour θ fixé et pour une période donnée, on souhaite contruire une famille d’intercorrélation maximale.

Proposition 11.1 (Sidelnikov). Soit s un entier naturel. Supposons qu’il existe un q − (M, L, θ, θ) ensemble d’intercorrélation.

(1) Si q = 2 alors

θ^{2} > (2s + 1)(L − s) + s − \frac{2^{s}L^{2s+1}}{M(2s)!\binom{L}{s}}

(2) Si q > 2 alors

θ^{2} > \frac{(s + 1)}{2}(2L − s) − \frac{2^{s}L^{2s+1}}{M(s!)^{2}\binom{2L}{s}}

Proof. C’est le résulat de Sidelnikov, voir [Sid71].

En posant s = 2 dans ces expressions, nous obtenons les bornes dites de Welch [Wel74] :

θ^{2} > \begin{cases}3L − 2 − \frac{L^{2}}{M} , & si q = 2. \\ 2L − 1 − \frac{L^{2}}{M} , & si q > 2. \end{cases}

Dans les années 60, Gold [Gol67] donne une famille de séquences binaires optimale du point de vue de la borne de Welch. Cette famille, G, est construite à partir du corps à q = 2^{f} éléments. Elle est formée des M = q + 1 éléments :

s_{a}(i) = (−1)^{tr_{Fq/F_{2}}(γ^{3i}+aγ^{i})}, s_{∞}(i) = (−1)^{tr_{Fq/F_{2}}(γ^{i})}.

où γ désigne un élément d’ordre 2^{f} − 1 et a varie dans F_{q}. On vérifie sans peine que pour tout α ∈ F_{q}^{×} l’application booléenne x ↦ q(x) = tr_{F_{q}/F_{2}}(αx^{3}) est une forme dont le noyau est de dimension 1 ou 2 suivant que f est impair ou pair. D’où l’on tire :

θ(G) ≤ −1 + 2^{⌈ \frac{f+1}{2} ⌉}

En fait, on peut remplacer q(x) par d’autre type de fonctions booléennes, voir par exemple les articles de Boztas et Kumar [BK94].

Plus tard, Solé [Sol89] puis Boztas, Hammons et Kumar [?] construisent des séquences analogues mais à partir de l’anneau de Galois GR(4, f).

• Famille A. Soit γ un générateur du groupe des Teichmüller de A = GR(4, f). Soit X un système de représentants de A \ {0} modulo l’action du groupe des Teichmüller. La première famille est formée des séquences quaternaires de la forme :

s_{a}(j) = i^{tr_{A}(aγ^{j})}, a ∈ X.

où γ est un élément générateur du groupe des Teichmuller de l’anneau de Galois GR(4, f). Les calculs de la sections précédentes donnent les paramètres d’intercorrélations de cette famille. Notons S(a) la somme triviale ∑_{x∈T_{A}^{0}} μ_{A}(ax). La valeur du coefficient d’autocorrélation de s_{a} × s_{b}(τ) est donnée par :

1 + s_{a} × s_{b}(τ) = S(aγ^{τ} − b)

qui reste de module au plus \sqrt{q}. Cette famille a pour paramètres :

L = q − 1, M = q + 1 = L + 2, θ ≤ 1 + \sqrt{L + 1} = 1 + \sqrt{q}

• La famille B est un construite de manière similaire. On se donne un élément δ ∈ T_{A}^{×} de sorte que 1+2δ est d’ordre 2 et ω = γ(1+2δ) est d’ordre 2(q − 1). Ensuite, on considère les séquences de la forme s_{a}(j) = μ_{A}(aω)^{j}). Les calculs d’intercorrélations nous ramènent aux sommes triviales :

\begin{aligned}2 + s_{a} × s_{b}(τ) & = S_{A}(aω^{τ} − b) + S_{A}((aω^{τ} − b)(1 + 2δ))) \\ & = S_{A}(u + 2v) + S_{A}(u + 2(uδ + v) \end{aligned}

Pour a ≁ b, on écrit u + 2v = aω^{τ}. Si u est nul on obtient 0 sinon

S_{A}(1)[1 + μ_{A}(δ)]μ_{A}(v/u)

qui en module reste inférieur à \sqrt{2q}. Le groupe d’ordre 2(q − 1) n’agit pas fidèlement sur les éléments non-inversibles. En prenant des éléments deux à deux non équivalents dans A^{×}, on obtient une famille de paramètres :

L = 2(q − 1), M = \frac{q + 1}{2} = \frac{L + 2}{4}, θ ≤ 2 + \sqrt{L + 2} = 2 + \sqrt{2q}

qui atteint encore la borne de Welch.

12. Généralisations

Soient A un anneau fini, ω un élément inversible, G le groupe engendré par ω et Γ une partie de Â^{+}. Le groupe G agit sur l’ensemble des caractères,

A  ω  < ω > .X  X′
A GR(4, f)  γ  A \ {0}/G GR(4, f)
B GR(4, f) γ + 2 GR(4, f)^{×} GR(4, f)
G K × K (γ, γ^{3}) P^{1}(K)  K × K

Tab. 1. structures des familles A, B, G.

on suppose que le fixateur d’un élément arbitraire de Γ est G. Que peut-on dire des propriétés d’intercorrélations de l’ensemble de séquences :

F(A, ω, Γ) = {s(ω, μ) | μ ∈ Γ}?

Pour chaque caractère ψ posons S(ψ) = ∑_{x∈G} ψ(x) et considérons Γ′ le sous-groupe de Â^{+} engendré par les orbites de Γ. L’intercorrélation maximale de la famille ci-dessus satisfait

θ(F) ≤ sup_{ψ∈Γ′−{1}} |S(ψ)|

Pour simplifier notre tache, nous pouvons supposer A quasi-Frobenius que l’on identifie à son dual moyen d’un caractère admissible μ_{A}. Convenons de noter s(a, ω) la séquence s_{a}(i) = μ_{A}(aω^{i}), S_{G}(a) la somme de Gauss triviale ∑_{x∈G} μ_{A}(ax). Soit X une partie de A constituée d’éléments deux à deux inéquivalents modulo l’action de G, les paramètres d’intercorrélation de la famille F(A, ω, X) = {s(a, ω) | a ∈ X} sont q ≤ |A|, M = |X|, L = |G| et

θ ≤ sup_{a∈X′−{1}} |S_{G}(a)|

où X′ est le sous-groupe de A engendré par les orbites des éléments de X.

Les familles A, B et G sont bien de ce type. C’est évident pour les deux premières. Pour la troisième, il suffit de considérer l’anneau K × K, ω = (γ^{3}, γ), et X = P^{1}(K) = {(1, α) | α ∈ K} ∪ {(0, 1)}.

13. Exemples

• Soit K une extension de degré f du corps à deux éléments. Considérons l’anneau :

A = K[X]/(X^{2})

c’est anneau de valuation quasi-Frobenius. L’idéal principal engendré la classe de X, disons π, est à la fois minimal et maximal, c’est l’unique idéal propre de A. Tout élément de A s’écrit d’une et une seule façon sous la forme a + bπ, le caractère

μ_{A}(a + bπ) = μ_{K}(β)

est un caractère admissible.

Quelle famille peut-on contruire avec le groupe T_{A}^{×}? Désignons par γ un caractère générateur du groupe des Teichmüller.

S_{T_{A}^{×}}(A + bπ) = ∑_{x∈T_{A}^{×}} μ_{K}(bx) = \begin{cases}q − 1, & b = 0; \\ −1, & b ≠ 0. \end{cases}

La partie X cherchée doit satisfaire M ∩ X′ = {0} et nous n’avons pas beaucoup de possibilités : X = {u} avec u ∈ A^{×}. Nous n’avons pas plus de chance avec un groupe G d’ordre 2(q − 1); c’est-à-dire engendré par ω = (1 + πδ)γ, en effet

S_{G}(a + bπ) = ∑_{i=0}^{2(q−1} μ_{A}((a + bπ)ω^{i})

= S_{T_{A}^{×}}(a + bπ) + S_{T_{A}^{×}}(a + (aδ + b))

= \begin{cases}2(q − 1), & a = b = 0; \\ q − 2, & a ≠ 0 = b, a ≠ 0 = a + bδ; \\ −2, & autre. \end{cases}

• Considérons l’anneau :

B = GR(4, f)[X]/(X^{2} − 2, 2X)

C’est un anneau de valuation quasi-Frobenius d’idéal maximal principal engendré par la classe de X, encore notée π. Chaque élément x de B se décompose d’une et une seule manière comme une somme x = a+bπ +cπ^{2}, où a, b et c sont des représentants multilplicatifs de K. En particulier, la structure additive de B est isomorphe au produit GR(4, f)×K. Notons A = GR(4, f) et remarquons que le caractère de B défini par

μ_{B}(a + bπ + cπ^{2}) = μ_{A}(a + cπ^{2})

est un caractère admissible de B.

Avec les groupes d’ordre q −1 et 2(q −1) nous retrouverions les séquences des familles A et B. Considérons un élément ω d’ordre 4(q −1) que l’on peut supposer sous la forme ω = (1 + πδ)γ, où γ est un générateur du groupe des Teichmüller et δ ∈ T_{B}^{×}.

S(a + bπ + cπ^{2}) = ∑_{i=0}^{4q−3} μ_{B}((a + bπ + cπ^{2})ω^{i})

= ∑_{r=0}^{3} ∑_{j=0}^{q−1} μ_{B}((a + bπ + cπ^{2})ω^{4j}(1 + πδ)^{r})

= S_{T_{A}^{×}}(a + 2c) + S_{T_{A}^{×}}(a + 2(bδ + c))

+ S_{T_{A}^{×}}(a + 2(aδ^{2} + c) + S_{T_{A}^{×}}(a + 2(aδ^{2} + bδ + c))

Comme dans le cas de la famille B, il faux choisir δ tel que tr_{(}δ) = 1, 3. La partie X = {1 + xπ + xπ^{2} | x ∈ T_{B}^{0}} contient q − 2 points deux à deux inéquivalents modulo le groupe engendré par ω. En conclusion, si δ ≠ 1 on peut construire une famille de paramètres :

L = 4(q − 1), M ≥ q − 2 = \frac{L − 2}{4}, θ ≤ 4 + 2\sqrt{2q} = 4 + \sqrt{2L}

Il n’est pas évident de savoir si nous pouvons faire mieux. Pour valider cette approche par les anneaux finis, il serait souhaitable de procéder à l’expérience numérique suivante. On se donne un anneau fini A, un élément ω d’ordre L dans A^{×} et un paramètre θ. On construit le graphe dont les sommets sont les séquences s(a, ω) acceptables du point de vue de l’autocorrélation. Deux séquences sont adjacentes si leur intercorrélation ne dépasse pas θ. Il ne reste plus qu’a utiliser un algorithme de recherche de cliques maximales pour extraire une famille d’intercorrélation.

Références

[BEW98] B. C. Berndt, R. J. Evans, and K. S. Williams, Gauss and jacobi sums, vol. 21, Wiley & sons, 1998.

[BHK92] S. Boztas, R. Hammons, and P. V. Kumar, 4-phase sequences with near-optimum correlation properties, i.e.e.e. transactions on Information Theory 38 (1992), no. 3, 1101–1113.

[BK94] S. Boztas and P. V. Kumar, Binary sequences with gold-like correlation but larger linear span, IEEE trans. Info. Theory. 40 (1994), no. 2.

[CG92] H. C. Clasen and R. W. Goldbach., A field-like property of finite rings, Indag. Math. NS 3 (1992), 11–26.

[CHK95] A. R. Calderbank, T. Helleseth, and P. V. Kumar, An upper bound for weil exponential sums over galois rings and applications, IEEE trans. Info. Theory. 41 (1995), no. 2, 456–468.

[CR88] C. W. Curtis and I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Wiley Classics Library, Wiley & sons, 1988.

[Die91] J. Dieudonné, La géométrie des groupes classiques, vol. band 5, Springer-Verlag, 1991.

[Dye78] R. H. Dye, On the arf invariant, Journal of Algebra 53 (1978), 36–39.

[Gol67] R. Gold, Optimal binary sequences for spread spectrum multiplexing, IEEE transactions on Information Theory 13 (1967), 154–156.

[Hir97] Y. Hirano, On admissible rings, Indag. Math. 8 (1997), 55–59.

[HY97] T. Helleseth and Y. Yang, On the weight hierarchy of preparata codes over z4, IEEE transactions on Inf. Theory 43 (1997), no. 06.

[Kim97] D. S. Kim, Gauss sums for o^{−}(2n, q), Acta Arithmetica LXXX.4 (1997), 343– 365.

[KL96] D. S. Kim and In Sok Lee, Gauss sums for o^{+}(2n, q), Acta Arithmetica LXX-VIII.1 (1996), 75–89.

[Kle89] M. Klemm, Uber die identitat von macwilliams fur die gewichtsfunktion von codes, Arch. Math, ( Bessel) 53 (1989), 332–336.

[Lam89] E. Lamprecht, Calculation of general gauss sums and quadratic gauss sums in finite rings, théorie des nombres xxx (1989), no. xxx, 561–573.

[Lan90] S. Lang, Cyclotomic fields, Springer, 1990.

[Lan92a] P. Langevin, On generalized bent functions, C.I.S.M. Courses and Lectures 339 (1992), 147–157.

[Lan92b] P. Langevin, Rayon de recouvrement des codes de reed-muller affines, these (1992).

[LN83] R. Lidl and H. Niederreiter, Finite fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 20, Addison-Wesley, 1983.

[McD74] B. R. McDonald, Finite rings with identity, vol. 28, 1974.

[NK] A. A. Netchaev and A. S. Kuzmin, Trace-function on a galois ring in coding theory, AAECC-12, pp. 277–290.

[Ser68] J.-P. Serre, Corps locaux, Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 1296, Hermann, 1968.

[Ser78] J.-P. Serre, Représentation des groupes finis, troisième ed., Hermann, 1978.

[Sid71] V. M. Sidelnikov, On mutual correlation of sequences, Soviet Math. Dokl. 1 (1971), 197–201.

[Sol89] P. Solé, A quaternary cyclic code and a family of quadriphase sequence with low correlation properties, Lecture Notes in Computer Sciences, vol. 388, 1989, pp. 193–201.

[Sti90] J. Stickelberger, Uber eine verallgemeinerung der kreistheilung, Math. Ann. 37 (1890), 321–367.

[Wel74] L. R. Welch, Lower bounds on the maximum cross correlation of signals, IEEE transactions on Information Theory 20 (1974), no. 3, 397–399.

[Woo98] J. Wood, Duality for modules over finite rings and applications to coding theory, preprint (1998).

Notations

s(ω, μ) la séquence i ↦ μ(ω^{i}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 F(A, ω, Γ) une famille de séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 G_{S}(χ, μ) Somme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 K un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p un nombre premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 q le cardinal de K, q = p^{f} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ζ_{p} racine pe principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ζ_{n} racine ne principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A un anneau fini commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B une extension de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M idéal maximal de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 GR(p^{ℓ}, f) anneau de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 T_{A}^{×} groupe des Teichmüller de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 T_{A}^{0} ensemble des Teichmüller de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 U(A) sous-groupe des unités fortes de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 σ automorphisme de Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 tr_{A} l’application trace de A sur son anneau de base . . . . . . . . . . . . . . . . 8 μ_{A} le caractère additif canonique de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Deg(f) le degré pondéré de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 t_{j} la je fonction tracique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 q une forme quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Arf(q) invariant de Arf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 S_{A}(μ) la somme de Gauss triviale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

22 PHILIPPE LANGEVIN

Université de Nice-Sophia-Antipolis, CNRS-URA 1376, Laboratoire I3S, Route des Colles, BP145, 06903 Sophia-Antipolis