Mon travail sur les fonctions booléennes est centré sur l'étude du rayon de recouvrement du code du Reed-Muller du premier ordre en dimension impaire, un des plus vieux problèmes ouverts de la théorie des codes correcteurs, remis au goût du jour par le célèbre contre-exemple de N.-J. Paterson et D.-H. Wiedemann. Il s'agit de déterminer la distance maximale d'une fonction booléenne à l'ensemble des formes affines. Une fonction booléenne à distance maximale du code de Reed-Muller affine est dite hautement non-linéaire, courbe en dimension paire. Cette terminologie apparaît dans le célèbre article de O. Rothaus. Ces fonctions hautement non-linéaires sont utilisées en cryptographie pour ``brouiller'' les sorties des circuits logiques. La détermination de fonctions courbes est un problème difficile en dimension paire, ouvert en dimension impaire supérieure ou égale à 9.
L'intérêt envers les fonctions de degré trois vient de mon article [3] dans lequel je détermine la distance maximale entre une cubique et le code de Reed-Muller en dimension 9. Il s'agit d'un rayon de recouvrement relatif. La méthode consiste à étudier qualitativement le spectre de Fourier sur des hyperplans à l'aide de la formule de Poisson. Les ingrédients sont les théorèmes d'Ax et de Katz relatifs à la divisibilité du nombre de solution d'un système d'équations. Depuis, d'autres chercheurs ont porsuivi dans cette voie, mais on ne sait toujours pas calculer la distance d'une cubique au code de Reed-Muller, pour une dimension impaire supérieure ou égale à 15. Dans notre article [16], aprés avoir généralisé les notions de noyau et défaut, nous proposons une piste sérieuse pour la construction de cubiques hautement non-linéaire.
Par analogie, P. V. Kumar, R. A. Scholtz et L. R. Welch définissent les fonctions courbes généralisées. Ce sont des fonctions définies sur un espace de caractéristique impaire qui ont un spectre de Fourier constant. Dans l'article [5], je montre que l'on peut majorer le degré de ces fonctions par une formule similaire à celle obtenue en caractéristique 2. Ce résultat est surprenant tant les situations sont différentes. Par contre, ces fonctions ne sont pas toujours loin du code de Reed-Muller affine, en quelque sorte, les fonctions courbes généralisées ne sont pas courbes, au sens de Rothaus ! A ce jour, on ne connaît toujours pas le rayon de recouvrement des codes de Reed-Muller affines en caractéristique impaire, et les bornes proposées dans ma thèse [6] n'ont toujours pas été améliorées.
E. F. Assmus et H. F. Mattson ont inventé la notion d'urcosets (orphans suivant V. Pless et classes latérales maximales dans ma thèse). Les urcosets sont des éléments maximaux pour une relation d'ordre partiel construite sur les classes latérales d'un code. Dans le cas des codes de Reed-Muller les fonctions courbes définissent des classes latérales maximales, d'où l'intérêt de cette notion dans le cadre des fonctions boolénnes. Les classes latérales des codes du code de Reed-Muller de dimension 5 ont été étudiées par E. R. Berlekamp et L. R. Welch. Les poids des différents cosets en dimension 6 sont donnés par une belle expérience numérique de J. A. Maiorana, mais les urcosets de cette dimension ne sont pas encore tous connus. Dans [4], je prolonge les travaux de V. Pless, en montrant que toutes les fonctions ayant le spectre de Fourier d'une forme quadratique définissent des urcosets du Reed-Muller du premier ordre, résultat amélioré par X.-D. Hou. Je donne une propriété caractéristique des urcosets de poids impairs qui sera utilisée plus tard par X. D. Hou pour renforcer la conjecture de V. Pless concernant la parité du rayon de recouvrement d'un code de Reed-Muller du premier ordre, en utilisant la notion peu connue de normalité. Un code de Reed-Muller affine avec un rayon de recouvrement impair serait nécessairement anormal et à ce jour on ne connaît pas de code binaire anormal. Dans les rapports [18, 17], nous présentons un algorithme de recherche de classe latérales maximales. Les classes latérales maximales de poids impaire existent en dimension 6, c'est un résultat numérique important. En effet, jusque là, on ne connaissait que le contre-exemple de X.-H. Hou, en dimension 11.
Les articles [1, 2] exploitent l'importante notion de dérivation de J. Dillon. On sait depuis longtemps que la notion de dérivation des fonctions boolénnes est importante. Par exemple, une fonction dont toutes les dérivées (dans une direction non nulle) sont équilibrées est courbe. Dans [1], nous proposons une nouveau procédés de construction de fonctions courbes basée sur la dérivation. Dans [2], nous définissons le nombre minimal h(k,m) de dérivations indépendantes qu'il faut appliquer à une fonction de degré k de m variables pour obtenir la fonction nulle. L'étude systématique de cette fonction nous permet d'améliorer les résultats de P. Charpin concernant la distance minimale d'un H-code.
Enfin, les rapports [18, 17] contiennent un certain nombres d'idées nouvelles concernant les fonctions booléennes et plus particulièrement celles qui sont équilibrées. Ces résultats feront l'objet de publications futures.