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Congruences

Soient a et b deux entiers naturels, b;SPMgt;0. Il existe un unique couple d'entiers naturels (q,r) vérifiant :

  equation83

Effectuer la division Euclidienne de a par b, c'est trouver le quotient q et le reste r satisfaisant aux conditions (2). La notion de division à reste minimal est moins populaire, sous les mêmes conditions, il existe un unique couple (q,r) d'entiers relatifs vérifiant :

  equation87

Effectuer la division à reste minimal de a par b, c'est trouver le quotient q et le reste r satisfaisant aux conditions (3)

Soit n un nombre entier positif. L'ensemble des entiers relatifs est muni d'une relation dite de congruence. L'entier x est congru à y modulo n si et seulement si n divise y-x, on écrit tex2html_wrap_inline515 ; c'est une relation d'équivalence compatible avec les lois d'addition et de multiplication. Un entier compris entre 0 ert n-1 est un résidu modulo n. Pour tout couple de résidus (x,y) on note tex2html_wrap_inline525 et tex2html_wrap_inline527 les résidus définis par :

equation91

L'ensemble des résidus modulo n muni de ces deux lois constitue un anneau fini, commutatif et unitaire; généralement noté tex2html_wrap_inline531 : c'est un anneau ``quotient''.

proposition94

proof96

Il résulte de cette proposition que si n est premier alors le nombre de solutions de l'équation tex2html_wrap_inline561 est au plus d. Remarquez que l'équation tex2html_wrap_inline565 possède 4 solutions dans tex2html_wrap_inline569 !

theoreme98

proof100

theoreme102

proof107

theoreme109

proof113



Langevin Philippe
Fri Apr 30 19:17:24 MET DST 1999