Maintenant, n désigne un nombre premier impair. Certain éléments de sont des carrés et d'autres pas. Un résidu non-nul a est dit
résidu quadratique modulo n ou résidu non-quadratique modulo n suivant que l'équation :
possède ou pas des solutions dans
. L'ensemble des premiers est noté
et celui des seconds
. Enfin, on définit le symbole de Legendre modulo n :
Dans la suite, nous remplacerons cette notation historique par
. Pout tout résidu a,
s'appelle
le caractère quadratique de a modulo n.
En particulier, -1 est un carré modulo n si et seulement si .