Un homorphisme d'un groupe fini vers le groupe multiplicatif des
nombres complexes est un caractère, en particulier 
est un caractère du groupe 
. Il suit de la proposition précédente
que la somme
est nulle. C'est une propriété générale des caractères de
groupes. Par exemple, l'application 
est un homomorphisme du groupe additif de 
, c'est un caractère
additif canonique. Le lecteur n'aura pas de difficulté à vérifier
que :
Pour tout résidu non-nul a, on définit la somme de Gauss :
Cette somme est liée à la somme de Gauss quadratique G(a,n)
la relation 
. Elle est à l'avantage
de faire apparaître le symbole de Legendre :
Voilà, nous sommes en mesure de faire une preuve de la
loi de réciprocité quadradique à partir des sommes
de Gauss et des anneaux cyclotomiques. Soient p et q
deux premiers impairs et distincts, posons 
.
La divisibilité
par q des coefficients binomiaux de rang q donne :
Remarquons que g(1,p) est inversible modulo q puisque son
carré : 
l'est. On peut simplifier :
En élevant à la
puissance 
l'égalité de la proposition
(4), nous obtenons :
ce qui achève la preuve de la loi de réciprocité quadratique. Le lecteur familier avec les corps de Galois définira des sommes de Gauss dans un corps fini bien choisi pour simplifier cette démonstration, voir le petit livre d'arithmétique de Serre [4]. Une autre démonstration d' Eisenstein basée sur le lemme de Gauss y est proposée.
