Le lien entre sommes de Gauss et codes cycliques irréductibles a été fait par R.J. McEliece, L. D. Baumert, J. Mykkelveit, H. Niederreiter. La plupart de ces articles sont trés calculatoires et souvent difficiles à lire. J'ai repris ces travaux avec une approche plus conceptuelle y faisant apparaître la formule de Poisson et les sommes d'Eisenstein. Les formules que je donne dans [11] sont particulièrement élégantes et me permettent des généralisations. Par exemple, dans [15], je montre que la plupart des codes abéliens possèdent une description trace, de sorte que, les formules sur les distributions de poids proposées par McEliece dans le cas des codes cycliques irréductibles, généralisées par Niederreiter aux codes cycliques, sétendent aux code abéliens. Dans le rapport de recherche [14], je montre comment utiliser la formule trace des codes abéliens pour obtenir les résultats de McEliece et Delsarte sur la divisibilité des codes.
Dans [10, 19], nous étudions les codes cycliques irréductibles à distributions de poids équilibrées. Un fait surprenant est que la condition nécessaire et suffisante d'existence d'un tel code est liée aux congruences de Stickelberger.
Dans [11], je construis des codes à deux poids. L'idée est simple, elle consiste à rechercher des codes qui ont toutes les bonnes raisons (arithmétiques) d'être à trois poids, mais qui par le hasard des choses n'en n'ont que deux, ce qui arrive très rarement. D'après le rapport de N.J.A. Sloane, dans cette nouvelle classe de codes, un seul exemplaire connu, c'est un des codes de Golay. Dans ces récents travaux, Schmidt construit une classe de codes cycliques irréductibles à deux poids qui contient mes codes. Il conjecture que cette classe est finie.