Le pentagone est le symbole des pythagoriciens. Il illustre les connaissances géométriques et arithmétiques de la Gréce antique. On le construit à la règle et au compas en utilisant le théorème de Pythagore. On observe des médiatrices, des relations d'orthogonalité, des parallèles... Une fois repéré un losange, le théorème de Thalès montre la similitude des triangles ABC et EFG. En son centre brille le nombre Phidias rapport de la dite similitude qui se trouve être le rapport d'un diamètre sur côté ! La figure se reproduit à l'infini et suggère à Hépitarque l'incommensurabilité de la divine proportion plus connue comme le nombre d'or.
Par tradition, l'école pytagoricienne ne laisse aucun écrit. Le savoir grec sera en partie préservé par l'oeuvre encyclopédique d'Euclide d'Alexandrie. Une oeuvre composée de 13 livres : les éléments. La majorité du texte est consacrée à la géométrie, le reste porte sur les nombres et les questions d'irrationalité. Les éléments qui concernent la géométrie et s'appliquent à l'architecture et à la construction des cathédrales traversent les siècles sans difficulté!
Les questions arithmétiques sont exposées dans les éléments sept et neuf. Le septième élément traite des nombres et des mesures de grandeurs, de la division euclidienne et de l'algorithme d'Euclide. Dans le neuvième élément, Euclide démontre que l'ensemble des nombres premiers est infini, un livre qui contient la définition des nombres parfaits et une proposition les concernant à savoir : si 1 + 2 + ... + 2^s est un nombre premier S alors S 2^(s-1) est un nombre parfait...
La légende raconte que
ces textes sont restés oubliés pendant plusieurs siècles,
à cause du manque d'intérêt des hommes envers
l'arithmétique, et même, qu'ils auraient failli
disparaître
à cause des guerres et des incendies.
J'ai photocopié quelques
pages d'une version latine du Livre vii des éléments
d'Euclide à partir d'un ouvrage du xvii-ième
siècle que vous
pouvez consulter à la bibliothèque du
CIRM.
Dans les deux premières pages, Euclide énonce ses 12 postulats
sur les nombres. L'algorithme d'Euclide et la division Euclidienne sont
dans la dernière page.
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Jusqu'au milieu du XX-ième siècle, l'arithmétique est considérée comme une science pure, fondamentale. La discipline reine des mathématiques. Le mathématicien Hardy déclare :
Les choses ont bien changé ces dernières années et les algorithmes tel que celui du calcul du PGCD de deux entiers sont au coeur de l'actualité pour leurs applications cryptographiques. Le cryptosystème RSA s'appuie sur la difficulté (admise) de factoriser un entier de plusieurs centaines de chiffres. L'algorithme d'Euclide donne lieu à des généralisations : algorithme de Gauss et LLL qui ont pour objet la recherche de vecteurs courts dans les réseaux et qui sont utilisés pour casser certains cryptosystèmes
... both Gauss and lesser mathematicians may be justified in rejoicing that there is one science (number theory) at any rate, and that their own, whose remoteness from ordinary human activities should keep it gentle and clean...A mathematician'Apology, 1940.
L'algorithme d'Euclide s'écrit en quelques lignes. En voici une version récursive PGCD(x,y) qui comme son nom l'indique, retourne le pgcd de deux entiers x et y. La complexité de l'algorithme dépend du nombre d'appels récursifs nécessaire au calcul de pgcd(x,y) . Au milieu du XIX-ième Gabriel Lamé utilise la suite de Fibonacci pour démontrer que le nombre d'itérations de l'algorithme d'Euclide est logarithmique en la plus grande des entrées. Le résultat est optimal comme le précise par la suite Edouard Lucas.
PGCD( x, y : nombre ) SI y > 0 RETOURNER PGCD( y, x mod y ) SINON RETOURNER x FSI
EUCLIDE( x, y : nombre ) TANTQUE ( Y > 0 ) x, y := y , x mod y FTQ RETOURNER x FSIUne petite modification de l'algorithme d'Euclide permet de résoudre l'identité de Bachet-Bézout dont la version itérative la plus efficace est celle de Blankenship.
BACHET( x, y : nombre ) X := ( 1, 0, x ) Y := ( 0, 1, y ) TANTQUE ( Y[3] > 0 ) q := X[3] div Y[3] X, Y := Y, X - q * Y FTQ RETOURNER x FSI
Exercice 1. Sept divisions euclidiennes sont nécessaire à l'algorithme d'Euclide pour certifier premiers entre-eux les nombres (x,y). Quels sont ces nombres ?
Exercice 2. Soit F[n] le n-ième nombre de Fibonacci. F[0]= F[1] = 1 et F[n+1] = F[n] + F[n-1]. Vérifier que
Exercice 3. Ecrire un algorithme récursif pour calculer deux entiers u et v tels que
- H. D., Ebbinghaus et autres, Les nombres, Vuibert 1998.
- G. Kayas, Euclide les éléments. Edition du CNRS, 1978.
- P. Langevin, une brève histoire des nombres.
- R. Seroul, math-info : informatique pour mathématicien, InterEdition 1995.
- D. Lancon, An Introduction to the Works of Euclid With an Emphasis on the Elements
Philippe Langevin, décembre 1999, février 2000, décembre 2013.